Cuadro Comparativo de Transformadas

Diferencias		Similitudes
Transformada inversa	Transformada de convolución
- Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar. - Calcular la función acumulada f(x). - Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)-1. - Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pseudoaleatorios ri ~U (0,1) en la función acumulada inversa. - Puede  emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general.	- Suma de dos o más variables aleatorias independientes. - Genera variables aleatorias en función a una combinación lineal ponderada a otras variables aleatorias. - La variable aleatoria Yi puede expresarse como una suma lineal ponderada a otras variables aleatorias Xi. - Este método se usa siempre y cuando la variable aleatoria X se pueda expresar como una combinación lineal de K variables. - Es una operación matemática en la cual tomamos dos señales y producimos una tercera. - De la misma forma en que multiplicamos tomamos dos números y producimos un tercero. - Se usa para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales - La multiplicación dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes.	- Generan variables aleatorias. - Usan los números pseudoaletorios. - Generan variables con distribuciones Poisson y Binomial. - Obtener “X” de la distribución deseada. - Características deseables: (Exactitud, Eficiencia, Complejidad, Robusted, facilidad)

Distribución exponencial

Se desea simular una variable aleatoria con distribución exponencial; la función de densidad es:

f(x)=λe^{^(-λx)}                            si x ≥0

La distribución acumulada de esta función de 0 a un valor x es:

F(x)=1-e^{^(-λx)}

Igualando la función acumulada F(x) al numero aleatorio r_i  y encontrando la transformada inversa (despejando x) se obtiene:

Xi=-1/λ ln(1-ri)

Distribución uniforme general (a,b)

Se desea simular número aleatorios con distribución uniforme entre a y b; la función de densidad es:

f(x)=1/(b-a )      a≤x≥b

La distribución acumulada de esta función de 0 a un valor x es:

F(x)=x/(b-a)        a≤x≥b

Igualando la acumulada de la función F(x) al número aleatorio r_i  y encontrando la transformada inversa (despejando x) se obtiene:

Xi=a+(b-a)ri

Método de la transformada inversa para variables aleatorias discretas.

1. Generar un número aleatorio R.

2. Si R < p0 hacer X = x0 y terminar.

3. Si R < p0 + p1 hacer X = x1 y terminar.

4. Si R < Pj i=1 pj hacer X = xj y terminar.

Si los xi , i ≥ 0, están ordenados de modo que x0 < x1 < x2 < . . . y si F denota la función de distribución de X, entonces FX (xk) = ∑^k_i=0 =pi y:

X será igual a xj , si FX (xj−1) ≤ R < FX (xj )

En otras palabras, después de generar un número aleatorio R determinamos el valor de X hallando el intervalo (FX (xj−1), FX (xj )) en el que está R (o, de forma equivalente hallando la inversa de FX (R)). Es por esta razón que el anterior se llama método de la transformada inversa discreta para generar X

Poisson.

En consecuencia, para generar una variable  P(𝜆),   podemos proceder del siguiente modo: se generan valores T_j ≡Exp(𝜆). Ese valor x corresponderá a una variable P(𝜆). 

Como los valores T_j son exponenciales de parámetro 𝜆, entonces se tiene que T_j = - (1/𝜆)lnu_j, con u_j ≡U(0,1).

 El algoritmo es el siguiente:

1. Sean k=1, x=1.

2. Se genera u_i ≡U(0,1). y se hace k=ku_i.

3. Si k ≤ e^-𝜆, entonces x-1 es el valor buscado. En caso contrario se hace x=x+1 y se va al paso 2.