Pruebas de la bondad de ajuste.

La bondad de ajuste de un modelo describe lo bien que se ajusta un conjunto de observaciones. Las medidas de bondad en general, resumen la discrepancia entre los valores observados y los K valores esperados en el modelo de estudio. Tales medidas se pueden emplear en el contraste de hipótesis, el test de normalidad de los residuos, comprobar si dos muestras se obtienen a partir de dos distribuciones idénticas ( test de Kolmogorov-Smirnov), o si las frecuencias siguen una distribución específica ( chi cuadrado).

Si el analista desea conocer el comportamiento, es necesario modificar la forma de presentación de datos y presentarla como tablas de frecuencia, con la finalidad de realizar cualquiera de las siguientes pruebas:

                               

* Prueba de bondad de ajuste  X²

*  Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Prueba de bondad de ajuste  X²

Esta prueba se utiliza para encontrar la distribucion de la probabilidad de una serie de datos.La metodologia de la prueba X² es la siguiente:

          1.Se colocan los n datos historicos en una tabla de frecuencias de 

intervalos, Se obtiene la frecuencia observada en cada intervalo i(FO_j). Se calcula la media y la variancia de los datos.

2.       Se propone una distribucion de pobabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso 1.

3.       Con  la distribucion propuesta, se calcula la frecuencia esperada para cada uno de los intervalos (FE_i) mediante la integracion de la distribucion propuesta y su posterior multiplicacion por el numero total de datos.

4.       Se calculo el estimador:

5.       Si el estimador C es menor o igual al valor correspondiente X² con m-k-1 grados de libertada (k= numero de parametros estimados de la distribucion) y a un nivel de confiabilidad de 1-α, entonces no se puede rechazar la hipotesis de que la informacion historica sigue la distribucion propuesta en el punto 2.

Mediante la prueba X² determine el tipo de distribución de probabilidad que sigue la demanda de automóviles a un nivel del 95%, si a través del tiempo se ha registrado el comportamiento consigna en la figura 1.13.

Obtenga la tabla de frecuencias d la figura 1.13 considerando 7 intervalos y cauntificando la frecuencia para cada uno de ellos:

  

La distribución de probabilidad esperada que se propone, observando los datos de FO, es una distribución uniforme entre   a = 0 y b = 13 y automóviles por día, o sea:

Integrando la función:

Donde:

LI: Limite Inferior de cada intervalo.

LS: Limite Superior de cada intervalo.

Sustituyendo valores para obtener F(x) y multiplicándolos por es total de datos, se obtiene FE para cada intervalo.

Calculando el estadístico C con los datos FE_i y FO_i se obtiene:

C=4.092

El valor C=4.092, comparado con el valor de la tabla X_5%,6=12.59, indica que no podemos rechazar que los datos anteriores se comportan de acuerdo a una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles demandados por día con un nivel de confianza del 95%, entonces:

Demanda= U (0,13) automoviles/dia 

Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov

Si el objetivo es encontrar el tipo de distribucion deprobabilidad de una serie de datos, esposible utilizar la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, la cual, comparandola con la de X², es mas eficiente en varios aspectos ya que trabaja con la distribucion de probabilidad acumulada. La metodologia es la siguiente:

      1.      Se colocan los n datos históricos en una tabla de frecuencias con nidsks. Para cada interval   o se tendrá la frecuencia observada i (FOi). Se calcula la media y la varianza de los datos.

       2.       Se divide la frecuencia observada da cada intervalo por el número total de datos a este resultado, para obtener la probabilidad observada(POi).

       3.       Se calcula la probabilidad acumulada observada de cada intervalo (PAOi) del paso 2.

       4.       Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en 1. 

       5.       Con la distribución propuesta se calcula la probabilidad esperada para cada uno de los intervalos (PEi).  Mediante la integración de la distribución propuesta.

       6.       Se calcula la probabilidad acumulada esperada  (PAEi) para cada intervalo de la clase.

       7.       Se calcula el valor absoluto entre PAOi y PEOi para cada intervalo y se selecciona la máxima diferencia, llamándola DM 

       8.       El estimador DM se compara con el valor límite correspondiente con n daos y a un nivel de confiabilidad de 1-α . Si el estimador DM es menor o igual al valor límite de la tabla en función del nivel de significancia y del tamaño de la muerta, no se puede rechazar que la información histórica sigue la distribución propuesta en el paso 4.

Ejemplo:

Mediante la prueba de Kolmogorov determine el tipo de distribución de probabilidad que siguen los datos del ejemplo anterior, con un nivel de confianza del 95%. Obtenga la tabla de frecuencias, considerando 7 intervalos:

La distribución de probabilidad esperada que se propone, según los datos de la columna FO, es una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles por día, o sea:

Integrando la función:

Donde:

LS: Limite Superior de cada intervalo.

Evaluando la ecuacion anterior, se obtiene la tabla siguiente:

Al obtener la diferencia término a término entre PEA y POA, se tiene:

El valor DM es igual a la máxima diferencia, o sea 0.0694, que comparándolo contra el valor de  d_5%,41=0.2123 indica que los datos anteriores siguen una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles demandados por día, con un nivel de confianza del 95% por lo tanto:

Demanda= U (0,13) automoviles/dia

Bibliografía

Reza M., García E. (1996). Simlulación y análisis de modelos estocásticos. México: MacGraw-Hill.